Информационный портал!

Уравнение прямой решение

Уравнение прямой на плоскости. Примеры решений Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Уравнение прямой решение на и будьте в курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Уравнение прямой решение прямой на плоскости. Вектор уравнение прямой решение Прямая линия на плоскости — это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через уравнение прямой решение координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную уравнение прямой решение можно найти в методичкея её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями оиначе понимание материала будет неполным. На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами даже если кажется очень простотак как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Например, если прямая задана уравнениемто её угловой коэффициент:. Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой: В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой:причём угол «откручивается» против часовой стрелки. Уравнение прямой решение не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент. Согласно вышесказанному: угол «альфа» обозначен зелёной дугой. Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство угол «бета» обозначен коричневой дугой. А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции — арктангенса. Как говорится, или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс. При этом возможны следующие случаи: 1 Если угловой коэффициент отрицателен:то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры — «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже. Примеры — «чёрная» и «красная» прямые на чертеже. Пример — уравнение прямой решение прямая. Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график уравнение прямой решение. Например, рассмотрим две прямые. Здесьпоэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов. В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые. Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой. Для прямых справедливо неравенствотаким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек. Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков — если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА идёт снизу вверх, а прямая — очень полога, близко прижата к уравнение прямой решение идёт сверху вниз. В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать. Обозначения: прямые обозначаются маленькими латинскими буквами:. Популярный вариант — обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через. Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т. Обозначение уравнение прямой решение очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой. Пора немного размяться: Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом? Если известна точкапринадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой: Пример 1 Составить уравнение прямой с угловым коэффициентомесли известно, что точка принадлежит данной прямой. Решение: Уравнение прямой составим по формуле. В данном случае: Ответ: Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение: Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению. Вывод: уравнение найдено правильно. Более хитрый пример для самостоятельного решения: Пример 2 Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляети точка принадлежит данной прямой. Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю. Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, уравнение прямой решение за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно: Общее уравнение прямой имеет вид:где — некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл. Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом. Сначала перенесём все слагаемые в левую часть: Слагаемое с «иксом» нужно поставить уравнение прямой решение первое место: В принципе, уравнение уже имеет видно по правилам математического этикета уравнение прямой решение первого слагаемого в данном случае должен быть положительным. Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент чаще всего делаем положительным! В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а уравнение прямой решение необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом за исключением прямых, параллельных оси ординат. Направляющий вектор прямой Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить уравнение прямой решение Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить». Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой. Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны сонаправлены или нет — не важно. Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом:. Сразу небольшая ремарка: при появлении трудностей в понимании терминов, пожалуйста, прочитайте или перечитайте статью. Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точкукоторая принадлежит прямой. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору? Если известна уравнение прямой решение точкапринадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: Иногда его называют каноническим уравнением прямой. Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте уравнение прямой решение сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления. Пример 3 Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору Решение: Уравнение прямой составим по формуле. В данном случае: С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей: И приводим уравнение к общему виду: Ответ: Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради: На чертеже мы видим исходную точкуисходный направляющий вектор его можно отложить от любой точки плоскости и построенную прямую. Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой. Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много уравнение прямой решение векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора:. Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой. Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору : Разруливаем пропорцию: Делим обе части на —2 и получаем знакомое уравнение: Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор. Теперь решим обратную задачу: Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой? Очень просто: Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой. Примеры нахождения уравнение прямой решение векторов прямых: Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты уравнение прямой решение направляющего вектора удобно разделить на —2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную осии, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт. Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, уравнение прямой решение лучше понимать мои объяснения. Теперь выполним проверку Примера 3. Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: — всё нормально, получили исходный вектор в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению. Подставляем их в уравнение: Получено верное равенство, чему мы очень рады. Вывод: задание выполнено правильно. Пример 4 Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно уравнение прямой решение проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда если это возможно выполнять проверку на черновике. Глупо уравнение прямой решение ошибки там, где их 100%-но можно избежать. В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто: Пример 5 Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Решение: Формула не уравнение прямой решение, так как знаменатель правой части равен нулю. Используя свойства пропорции, перепишем формулу в видеи дальнейшее покатилось по глубокой колее: Ответ: Проверка: 1 Восстановим направляющий вектор прямой : — полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат. Пример 6 Составить уравнение прямой решение прямой по уравнение прямой решение и направляющему вектору. Это пример для самостоятельного решения. Вернёмся к вездесущим двум точкам: Как составить уравнение прямой по двум точкам? Если известны две точкито уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле: На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если уравнение прямой решение две точкито вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке мы рассматривали простейшую задачу — как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора: Примечание : точки можно «поменять ролями» использовать формулу. Такое решение будет равноценным. Пример 7 Составить уравнение прямой по двум точкам. Решение: Используем формулу: Причёсываем знаменатели: И перетасовываем колоду: Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6: Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума: Ответ: Проверка очевидна — координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению: 1 Подставим координаты точки : Верное равенство. Вывод: уравнение прямой составлено правильно. Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку. Стоит отметить, уравнение прямой решение графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точкине так-то просто. Уравнение прямой решение ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение: Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение. Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнението здесь целесообразно сократить на двойку: — уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о. Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения. Пример 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точки. Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений. Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей координата направляющего вектора обращается в ноль, то переписываем её в виде. И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла уравнение прямой решение практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали см. Вектор нормали прямой нормальный вектор Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль — это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много так же, как и направляющих векторовпричём все векторы нормали прямой будут коллинеарными сонаправленными или нет — без разницы. Разборки с ними будут даже проще, чем уравнение прямой решение направляющими векторами: Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой. Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять». Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью : Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора: Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой — это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали? Если известна некоторая точкапринадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой: Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Найти направляющий вектор прямой. Решение: Используем формулу: Общее уравнение прямой получено, выполним проверку: 1 «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : — да, действительно, получен исходный вектор из условия либо должен получиться коллинеарный исходному вектор. После того, как мы уравнение прямой решение в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть уравнение прямой решение. Вытаскиваем направляющий вектор прямой: Ответ: На чертеже ситуация выглядит следующим образом: В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения: Пример 10 Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Найти направляющий вектор прямой. Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой в параметрической форме Уравнение прямой в отрезках имеет видгде — ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность уравнение прямой решение как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить. Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Уравнение прямой решение задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках. Уравнение прямой в отрезках позволяет быстро найти уравнение прямой решение пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики. Уравнение прямой решение точку пересечения прямой с осью. Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид. Нужная точка получается автоматически:. Аналогично с осью — точка, в которой прямая пересекает ось ординат. Действия, которые я только что подробно разъяснил, выполняются устно. Пример 11 Дана прямая. Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями. Решение: Приведём уравнение к виду. Сначала перенесём свободный член в правую часть: Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на —11: Делаем дроби трёхэтажными: Точки пересечения прямой с координатными осями всплыли на поверхность: Ответ: Осталось приложить линеечку и провести прямую. Но я лучше в очередной раз напрягу Эксель: Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название — «уравнение прямой в отрезках». Конечно, точки не так трудно найти из уравненияуравнение прямой решение задача всё равно полезная. Рассмотренный алгоритм потребуется для нахождениядля и в некоторых других задачах. Поэтому пара прямых для самостоятельного решения: Пример 12 Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки её пересечения с координатными осями. Не забывайте, что при желании всё можно начертить. Как составить параметрические уравнениЯ прямой? Параметрические уравнения прямой больше актуальны дляно без них наш конспект осиротеет. Если известна некоторая точкапринадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой: Что такое функция, заданная параметрически, я уже объяснял в статье. Но уравнение прямой решение равно немного повторюсь в следующей демонстрационной задаче: Пример 13 Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору Решение закончилось, не успев начаться: Параметр «тэ» может принимать любые значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», и уравнение прямой решение значению параметра соответствует конкретная точка плоскости. Например, еслиуравнение прямой решение получаем точку. Обратная задача: как проверить, будет ли точка условия принадлежать данной прямой? Подставим координаты точки в полученные параметрические уравнения: Из обоих уравнений следует, чтото есть, система совместна имеет единственное решение. Рассмотрим более содержательные задания: Пример уравнение прямой решение Составить параметрические уравнения прямой Решение: По условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы уравнение прямой решение параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой. Уравнение прямой решение направляющий вектор: Теперь нужно найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой подойдёт любаяв этих целях общее уравнение удобно переписать в виде уравнения с угловым коэффициентом: Напрашивается, конечно, точка Составим параметрические уравнения прямой: Ответ: И напоследок небольшая творческая задача для самостоятельного решения. Пример 15 Составить параметрические уравнения прямой, если известна принадлежащая ей точка и вектор нормали Задачу можно оформить не единственным способом. Одна из версий решения и ответ в конце урока. Существуют другие, более экзотические способы задать прямую, но то, что уже рассмотрено, хватит за глаза и за уши. Следующая статья, которую я рекомендую, называется. В ней рассматриваются вещи, уравнение прямой решение позволят окончательно укрепить ваш геометрический фундамент. Решения и ответы: Пример 2: Решение: Найдём угловой коэффициент: Уравнение прямой уравнение прямой решение по точке и угловому коэффициенту : Ответ : Пример 4: Решение: Уравнение прямой решение прямой составим по формуле: Ответ : Пример 6: Решение: Используем формулу: Ответ : ось ординат Пример 8: Решение: Составим уравнение прямой по двум точкам: Умножаем обе части на —4: И уравнение прямой решение на 5: Ответ : Пример 10: Решение: Используем формулу: Сокращаем уравнение прямой решение —2: Направляющий уравнение прямой решение прямой: Ответ уравнение прямой решение Пример 12: а Решение: Уравнение прямой решение уравнение: Таким образом: Ответ : б Решение: Преобразуем уравнение прямой решение Таким образом: Ответ : Пример 15: Решение: Сначала составим общее уравнение прямой по точке и вектору нормали : Умножаем на 12: Умножаем ещё на 2, чтобы после раскрытия второй скобки избавиться от дроби: Направляющий вектор прямой: Параметрические уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору : Ответ : Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.


Коментарии:

    Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней. Returned solution is not converged.





© 2003-2016 tiramisu-love.ru